Importante artículo de Leopoldo Varela publicado en revista DEMÓCRITO, en julio de 1990

EL ALEPH. UN EJEMPLO DE LITERATURA MATEMÁTICA O DE MATEMÁTICA POÉTICA

Leopoldo Varela (Director de Prociencia/CONICET)

Publicado en revista Demócrito, año I, Nº 1 – Julio de 1990

“Las matemáticas del hacer cuadros nos lleva a la física de la representación”.

Juan Gris

“En verdad, un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un perfecto matemático”.

Karl Weierstrass

Artistas y científicos se han influido mutuamente en todas las épocas. En este artículo nos proponemos comentar algunas ideas debidas principalmente al matemático Georg Cantor (1845-1918), estrechamente ligadas al cuento “El Aleph” de Jorge Luis Borges. Los senderos que habremos de recorrer podrán parecer ásperos para quienes no están familiarizados con el lenguaje matemático pero, por nuestra parte, intentaremos reducir los tecnicismos tanto cuanto nos sea posible. Si algún matemático, por otro lado, lee el artículo, tal vez nos reproche falta de rigor. A él le pedimos que nos tolere como se toleran las imprecisiones de un guía turístico. Quizá, de todos modos, el discurso nos puede hacer reparar en algún detalle que antes no habíamos observado. La intención final, de todos modos, no es otra que la de tender un puente entre el arte y la ciencia, o, mejor, entre los amantes del arte y los amantes de la ciencia que lamentablemente para unos y otros casi siempre se encuentran extrañamente aislados. La actividad matemática tiene muchos puntos de contacto con la actividad artística, aunque muchas veces penetrar en sus tropos y figuras exija un esfuerzo mayor del que es necesario hacer para gozar de un poema, de un cuadro o de una melodía… Intentaremos que resulte lo menos penosos posible.

Cardinal de un conjunto

“Tira con tirita y ojal con botón”.

María Elena Walsh (Canción para vestirse)

Una de las operaciones básicas de la matemática consiste en contar los elementos de un conjunto. Sin embargo, existe otra operación aún más elemental y es la de comparar dos conjuntos respecto de la coordinabilidad.

Se dice que dos conjuntos son coordinables cuando a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno del segundo conjunto y, recíprocamente, a cada elemento del segundo uno y sólo uno del primero.

Como en la canción de María Elena Walsh, el conjunto de botones es coordinable con el conjunto de ojales si y sólo si a cada ojal le corresponde un botón y sólo uno, y a cada botón le corresponde un ojal y sólo uno.

Se dice también que cuando dos conjuntos son coordinables tienen el mismo cardinal. En los casos habituales, conjuntos finitos, el cardinal de un conjunto es el número (natural) de elementos de dicho conjunto.

El cardinal del conjunto de dedos de una mano es el número “cinco”.

Lo anterior es tan simple que quizá pueda parecer pedantería el habernos extendido tanto en su explicación. Veremos más adelante que el concepto de cardinal ofrece sus sorpresas.

Conjuntos infinitos

“Donde vemos que la imaginación va más lejos que la naturaleza”.

William Shakespeare (Antonio y Cleopatra)

En el apartado anterior hemos hablado del cardinal de un conjunto finito. Parece que no hay obstáculo en generalizar las mismas ideas a conjuntos infinitos. De esta manera podemos decir que el conjunto de enteros positivos y el de enteros negativos tienen el mismo cardinal. En efecto, aplicando el método de “tira con tirita”, podemos ver que dichos conjuntos son coordinables:

v

La primera dificultad estriba en el aceptar o no la existencia de conjuntos infinitos. En lo que sigue nosotros supondremos la existencia de dichos conjuntos. Aclaramos, sin embargo, que, como dice Bertrand Russell en su Introducción a la Filosofía Matemática:

“No se puede decir con seguridad que haya en el mundo conjuntos infinitos. Suponer que existen es admitir lo que llamaremos el “axioma del infinito”. Aunque varias vías posibles sugieren la esperanza de probar este axioma, existen motivos para temer que todas sean engañosas, y que no haya ninguna razón lógica concluyente para imponernos la creencia de su validez. Al mismo tiempo, no hay ninguna razón lógica contra la existencia de los conjuntos infinitos, y por esto estamos autorizados lógicamente a investigar la hipótesis de la existencia de tales conjuntos”.

El problema de la existencia de conjuntos infinitos tiene una larga tradición filosófica y matemática. Sus dificultades fueron capaces de arredrar a los griegos. Aristóteles, en Física (Lib. III, Cap. 5), nos dice:

“Con todo, las consideraciones sobre el infinito encierran una dificultad, porque tanto los que rechazan su existencia como los que la admiten, se encuentran consecuentemente implicados en una serie inacabable de imposibles y absurdos”.

Pero pese a las dificultades del infinito, filósofos y matemáticos audaces se negaron a cortar las alas de la imaginación y, como Cantor, trataron de aprisionar los infinito.

Lo cierto es que eliminar el conjunto de infinitud obligaría a la demolición de la mayor parte del edificio matemático y no encontramos razón valedera para tamaño sacrificio. Con Hilbert alimentamos la esperanza de que “ningún matemático pueda ser jamás expulsado del paraíso que Cantor creó”.

Quizá la imaginación nos lleve más allá de la naturaleza. Y bien… eso también es poesía.

Por todo ello admitimos el axioma del infinito. Cabe quizá una advertencia. Aceptado el axioma debemos aceptar sus consecuencias. Nos seguirán quienes estén dispuestos a quemar las naves.

Los números transfinitos

“Si se quiere un lema breve, que centre el punto vital de la matemática, debe decirse:

es la ciencia del infinito”.

Hermann Weyl

Volvamos al ejemplo utilizado anteriormente: la coordinabilidad de los enteros positivos y los enteros negativos. Ambos tienen el mismo cardinal ya que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo y recíprocamente. Es claro que el cardinal de estos conjuntos no es ningún número natural. Por grande que eligiésemos a ese número siempre resultaría menor que el número de elementos de dichos conjuntos. Cantor bautizó al nuevo cardinal con el nombre de aleph-cero (aleph subcero), siendo aleph la primera letra del alfabeto hebreo.

¿Habrá otros conjuntos de cardinal aleph subcero? Todos aquellos que sean coordinables entre ellos, por ejemplo, el conjunto de los números naturales:

v2

Todos los conjuntos de cardinal aleph subcero se dice que son numerables porque sus elementos se pueden numerar, contar, con los números naturales.

Y aquí empiezan a aparecer las dificultades de las que nos hablaba Aristóteles. Veamos: ¿cuál es el cardinal de los números naturales pares?

v2 - copia

Como lo indica el cuadro anterior su cardinal es también aleph subcero.

¡Hay tantos números pares cuantos números naturales!

Lo mismo es cierto para el conjunto de los números impares.

v2 - copia (2)

Si en una bolsa tenemos al conjunto de los números pares (es decir los aleph subcero números naturales pares) y en otra al conjunto de los números naturales impares (es decir, los aleph subcero números impares) y los recogemos todos en una única bolsa, tendremos los aleph subcero números naturales. Es decir: si sumamos aleph subcero más aleph subcero se obtiene aleph subcero.

Hemos advertido al lector que ya no había derecho a reclamos. Ahora está obligado a aceptar que aquello de “El todo es mayor que las partes” sólo vale para conjuntos finitos, ya que los pares son una parte de los naturales; es decir, el axioma ha perdido la generalidad antes admitida. Por otra parte, ha dejado de valer que la suma de sumandos no nulos es mayor que los sumandos. Pero sigamos buscando conjuntos numerables.

Se puede demostrar fácilmente que también los números racionales son conjuntos numerables. Los hindúes a veces reemplazaban las demostraciones por algún diagrama con la palabra ¡Vea! Los imitaremos. Lo invitamos a mirar el cuadro siguiente para que se convenza de que, siguiendo las flechas, también los racionales pueden numerarse:

220px-Diagonal_argument.svg

(el gráfico anterior fue copiado de Wikipedia, pues en la edición de Demócrito, por error, no se imprimieron las flechas)

continuará…

Demócrito 1

Demócrito 2

Manifiesto fundacional del MOVIMIENTO RESCATE (POR UNA CULTURA POPULAR) publicado en la página 27 de DEMÓCRITO

Rescate

Argumentum Ornithologicum, de Jorge Luis Borges

Cierro los ojos y veo una bandada de pájaros. La visión dura un
segundo o acaso menos; no sé cuántos pájaros vi. ¿Era definido o
indefinido, su número? El problema involucra el de la existencia de
Dios. Si Dios existe, el número es definido, porque Dios sabe cuántos
pájaros vi. Si Dios no existe, el número es indefinido, porque nadie
pudo llevar la cuenta. En tal caso, vi menos de diez pájaros (digamos)
y más de uno, pero no vi nueve, ocho, siete, seis, cinco, cuatro, tres
o dos pájaros. Vi un número entre diez y uno, que no es nueve, ocho,
siete, seis, cinco, etcétera. Ese número entero es inconcebible; ergo,
Dios existe *.

Cierro los ojos y veo una bandada de pájaros. La visión dura un segundo o acaso menos; no sé cuántos pájaros vi. ¿Era definido o indefinido, su número? El problema involucra el de la existencia de Dios. Si Dios existe, el número es definido, porque Dios sabe cuántos pájaros vi. Si Dios no existe, el número es indefinido, porque nadie pudo llevar la cuenta. En tal caso, vi menos de diez pájaros (digamos) y más de uno, pero no vi nueve, ocho, siete, seis, cinco, cuatro, tres o dos pájaros. Vi un número entre diez y uno, que no es nueve, ocho, siete, seis, cinco, etcétera. Ese número entero es inconcebible; ergo, Dios existe .

descarga

Cuento de El Hacedor, 1960

—-

Un dibujo del Profesor Leopoldo Varela y otro del Profesor Agustín Rela, que me envió este último por mail con los interesantísimos comentarios que reproduzco. ¡Todo un documento! Ambos docentes, junto a Juan Foncuberta y Hugo Tricárico, son parte de la mejor historia de la enseñanza de la Matemática y la Física en Argentina.

Va anexo un dibujo que trazó (Leopoldo Varela) ante mí cuando en uno de nuestros cursos tratábamos los gráficos tendenciosos. Por desdicha perdí aquella publicación de Prociencia de tapas azules. Leopoldo había visto en un diario una figura que representaba la caída y posterior recuperación de cierto indicador económico. El gráfico en cuestión carecía del cero en el eje de ordenadas, un viejo truco para exagerar las variaciones. Además el diario había hecho coincidir con la gráfica el brazo de un hombre musculoso, sonriente y que guiñaba un ojo. Esa figura es un ejemplo de representación que connota fortaleza y confianza, pero da información escasa o equívoca, aunque sea verdadera.

El otro dibujo lo hice en una reunión en la que Leopoldo comunicaba al personal las dificultades de recursos que empezaba a sufrir Prociencia. Para imprimir el material de los cursos que dábamos por correo postal había que hacer trámites irregulares o, al menos, desprolijidades, palabra recién inventada que preferíamos usar para referirnos al uso de fondos con fines diferentes de los previstos. Por ejemplo, podíamos pagar hoteles y viajar en avión adonde quisiéramos, pero no comprar legalmente un pomo de plasticola.

Un cordial abrazo, AgustIn M. Rela
13.Sep.2014

LV1985

——————————————————

Proc001—————————————————————————–

Mil gracias, Profesor Rela

Omar Cabrera

12/9/2014: La Dra. Prof. Brisa Varela, hija del gran Profesor en Matemática y Pedagogo, Leopoldo Varela, me envió, ante mi pedido, cuatro fotos familiares del ilustre educador.

Fueron sacadas en Río Ceballos, en el verano de 1991, meses antes del fallecimiento de Leoploldo Varela.

Varela 1Varela 2Varela 3

Agradezco a Brisa Varela el haber compartido estas cuatro fotos del Maestro Varela. En tres fotos aparece junto a su inseparable esposa, y en una de ellas, con su esposa y su hija Brisa. Agradezco también a los emblemáticos  profesores Agustín Rela y Hugo Tricárico quienes, con Leopldo Varela y otros grandes educadores, han provocado un amplio y profundo avance en la didáctica de la Matemática y la Física.

Omar Cabrera

Varela 4

3/9/2014. Más del Maestro Agustín Rela sobre el Maestro Leopoldo Varela: un lujo.

A Varela le interesaban, como a mí, las maneras tendenciosas de presentar la información, al parecer las únicas que existen. El mundo es más complejo que nuestra inteligencia y hay más cosas que las que podemos llegar a saber; entonces uno elige; en eso consiste la ideología.

Creo recordar que con él comentamos el supuesto hallazgo de una correlación estadística innegable entre el número de calzado y la aptitud para el trabajo, por lo que algunas agencias de colocaciones preferían contratar a personas de pies grandes. Después se supo que la muestra abarcaba a individuos de toda edad, también a bebés de pecho, de los que se sabe que su intelecto está todavía en las primeras etapas de desarrollo.

Leopoldo vivió en Venezuela, donde alguna gente lo felicitaba por sus hijos y le preguntaba:

— ¿Son morochos?

Los niños mostraban piel y cabello claros, pero Leopoldo, por cortesía, respondía:

— Ya lo ve, más o menos.

Después supo que en ese país morocho significa mellizo.

Un abrazo,

AgustIn M Rela
3.Sep.2014

—————————————-

Hoy, 2/9/2014, tuve el placer de recibir un mail, que reproduzco aquí, del destacado profesor e investigador en Física, Lic. Agustín Rela. Este modesto espacio, enaltecido.

Estimado omararmandocabrera@yahoo.com.ar:

Gracias por http://blogsdelagente.com/matematicanatural/2014/02/28/elementos-de-la-vida-y-obra-del-gran-maestro-y-profesor-en-matematica-leopoldo-varela/

Este es un problema de la familia de los que utilizaba el recordado Leopoldo Varela: “Un chico de dos años tiene dos dientes; ¿cuántos tendrá cuando tenga sesenta y seis años?” (RISAS) Lo preguntaba a sus alumnos del profesorado. Él se hacía el distraído, venían y le decían: “Ciento treinta y dos dientes.”, “¡No! ¿qué es esto? ¿Tiburón IV? No, está mal.” Hasta que uno venía y decía: “¡Pero este problema no es regla de tres!.” Entonces, con gesto teatral, plegaba el diario que simulaba haber estado leyendo y decía: “Vos entendiste lo que es la regla de tres. Porque entender la regla de tres no es aplicarla, sino saber cuándo vale y cuándo no vale.”

Fuente: http://cosas.com.nu/3agustin.doc

Cordiales saludos,

Agustín M. Rela (agusrela@yahoo.com)
2.Sep.2014

23-Rela, Agustin

Lic. Agustín Rela

Se pueden obtener importantes e interesantes artículos y videos de la pág. web del Lic. Grela, almacenados ahora en

https://delicious.com/agusrela

Omar Cabrera

Del texto Matemática Natural (O. Cabrera y G. Fusco), Ediciones del Aula Taller, 2009

Ficha 6-Tapa

El cero, desde su aparición, trajo problemas y beneficios. Hoy sirve para calificar personas (¡eres un cero a la izquierda!), realizar descripciones literarias (“Menos que cero”, Bret Easton Ellis), y teatrales (“El cero transparente”, Alfonso Vallejo) o denominar festivales de cine (Festival “Cine Cero”, de Quito, Ecuador). Indica la carencia total (gravedad cero), deseos o promesas políticas (“Desnutrición Cero”, “Deserción Escolar Cero”, “Tolerancia cero”) o las argucias del poder (ponéle al cheque los ceros que quieras).

En Argentina está prohibido como calificación escolar (la nota mínima es 1), pero sin él nadie obtendría 10. Muchos se empeñan en dejarlo afuera del conjunto de los números naturales, acusándolo de haber aparecido muy tarde en la historia de la humanidad  o carecer de significación. ¡Si a los símbolos del 1 al 9 se los llama “cifras significativas”!. Discriminación. Por si eso fuera poco, ser sin-cero es una virtud.

La asociación entre el cero y la nada es el punto nodal de esta discusión. Sinceramente.

La venganza

Pero el cero se las ha arreglado para hacerse notar, emergiendo desde la nada con intensa rebeldía. Tan intensa, que supo conquistar propiedades que ningún otro número consiguió.

En 2015 enseñen y aprendan matemática, en Argentina, con el texto Matemática Natural, de Omar Cabrera y Gladys Fusco. A continuación, 10 razones para su utilización:

TAPA

1 -  Se trata de un texto en donde trabajamos exclusivamente con números naturales. Está destinado a alumnos de primer año del secundario argentino y años subsiguientes. También es utilizado en algunos profesorados como libro de didáctica de la matemática. No consideramos adecuado que los números naturales sean suprimidos de los programas secundarios; todo lo contrario, pensamos que su operatoria constituye el campo coneptual más y mejor construido en la primaria, y son apropiados generadores -mediante razonamientos analógicos- de los conjuntos de números enteros y racionales, facilitando, además, los primeros pasos del álgebra.

2 – Fue construido CON estudiantes en dificultad, en escuelas llamadas “de contención social”. En estas escuelas los docentes recibimos presiones “institucionales” para aprobar mecánicamente a todos, aunque no hayamos podido enseñar y/o todos los alumnos aprender. Dichas presiones de directivos, supervisores, ministros y reconocidos especialistas que cuestionan la enseñanza de matemática en el secundario, con la complicidad de dirigentes sindicales burocráticos, son herramientas de los gobiernos capitalistas para garantizar que los alumnos pobres y/o marginales sean “formados” como mano de obra barata o preparados para someterse mansamente a coyunturas de subocupación o desocupación. Esas escuelas demagógico-asistencialistas y las persistentes escuelas medias expulsivas, se desarrollaron con fuerza desde los años 90 con la Ley Federal de Educación y se siguen propagando en la actualidad.

3 - Posee fichas teórico-prácticas adaptables a distintas secuencias programáticas, propuestas didácticas y tendencias pedagógicas.

4 – Está organizado para apoyar la revisión de operaciones, convenciones y propiedades, o profundizar su estudio, en cualquier nivel de la enseñanza media.

5 – Revalorizamos el cálculo numérico escrito y “mental”, sin dejar de propiciar el uso de la calculadora científica y los programas computacionales.

6 – Su metodología es claramente constructivista y está basada en la explicitación de preguntas y secuencias de resolución, postergando reglas prácticas rápidamente mecanizables.

7 – Presentamos demostraciones de propiedades y construcciones conceptuales que erigen a la justificación matemática como base del aprendizaje deseado. Pensamos que la deducción no debe estar ausente en un texto, para validar adecuadamente relaciones y resultados matemáticos.

8 - Resolución de ecuaciones considerando las tareas invariantes (Teoría de los Campos Conceptuales de Gérard Vergnaud e ivestigaciones de Aníbal Cortés, Universidad París 8). Pretendemos que los alumnos construyan invariantes operatorios adecuados para justificar sus transformaciones  y aplicar métodos de resolución con eficacia. Presentamos un nuevo método para resolver ecuaciones, aplicando un método inductivo (elevación de lo particular a lo general) que requiere la creación de herramientas propias construidas ad hoc. Entre la deducción axiomática (aplicación de propiedades uniformes) y la inducción descubridora, hacemos hincapié en esta última -por su carácter formativo constructivista- sin dejar de aplicar la primera junto a otros conocidos métodos.

9 – El método heurístico (del griego eurisko, que significa encontrar o descubrir) colectivo es muy apropiado para la dinámica (de ser posible, vigotskiana) de la clase. Es muy importante que cada alumno posea su propio texto para no verse obligado a copiar del pizarrón o escribir dictados, hecho que favorece la participación de todos. Además cada estudiante podrá avanzar, de acuerdo a sus tiempos y posibilidades, a partir del estudio y ejercitación fuera del aula. Por esa razón, Ediciones del Aula Taller, editora de Matemática Natural, pone dicho texto a disposición de cada grupo de alumnos a precios muy convenientes, generalmente menores al que resultare de fotocopiar todo el libro.

10 - Además de las ilustraciones realizadas por un joven artista plástico, muy atractivas para los estudiantes secundarios, el texto se completa con un CD de apoyo a estudiantes, padres y docentes.

Por la salud de los docentes y la independencia de los estudiantes, saludamos fraternalmente:

Omar Cabrera y Gladys Fusco

—————————————

pensador—————–