La subasta del Dolar

Durante los años 50, Martin Shubick, matematico nortemaricano, pertenenciente a la Corporación RAND y Princeton, diseño algunos juegos, entre algunos de ellos se encontraba esta “subasta del Dolar”

Hay va un juego para los que les gustan este tipo de juegos y planteamientos:

Durante la realizacion de una subasta, el subastador ofrece un billete de un dólar, para llevarselo hay que cumplir las siguientes condiciones:

a – El dólar será entregado a aquel que ofrezca el valor más alto, debiendo este comprador pagar la puja que haya realizado.

b – El solicitante que ofreció el precio inmediatamente inferior debe también pagar la puja efectuada, sin obtener nada a cambio de este pago.

Cual sera el precio optimo teniendo en cuenta estas premisas

iphone vs Nexus

Por un lado Iphone ha presentado ya sus nuevos modelos de smarhphone (lo del simple movil parece cosa ya de los 90s), con colores varios y varios precios, lo que incluye un modelo barato a 550 euros (en china esto les ha sentado como un tiro, pues parece que ellos entienden por barato otros precios).

Por otro lado, Google anuncio no hace mucho que bajaba 100 euros en sus modelos del Nexus el 7 y el 4, lo cual deja el precio alrededor de los 200 euros, mas o menos y si la calculadora no me falla 1620 yuanes, precio que en principio me parece mas asequible sobre todo si lo que pretendes es comerte un mercado en el que la media de salario no llega a los 4000 euros anuales (ANUALES).

Con el anuncio de google, pense en un posible movimiento de precios generalizado, incluyendo a los de la manzana, y parece que asi ha sido, pero solo de manera virtual.

Ellos sabran.

Moviles Firefox

La compañia española Geeksphone ha puesto a la venta los dos modelos de moviles con el nuevo sistema operativo de firefox.

Los dos modelos que han presentado y que estan destinados en principio a desarrolladores y testers que prueben el funcionamiento y los posibles bugs del sistema operativo, son los modelos Keon y Peak.

Realmente hay que felicitar a las dos compañias y su gran espiritu competitivo. Hay que ser muy valiente, o el trozo de pastel tiene que ser muy grande para querer entrar en un mercado ya un poco sobresaturado: iphone, android, ubuntu, windows mobile.

Pero bueno, Firefox ya en el pasado peleo con internet explorer y no podemos decir que perdio. Su situación, y su cuota de mercado de los navegadores de internet actual seguramente sea parte de lo que apoye esta estrategia.

Mientras que algunos por lo que dicen los datos (datos de la bolsa de nueva york) van perdiendo mercado (apple parece que no esta en su mejor momento), otros continuan afianzandose, quizas por su dominio absoluto de internet (la compañia de la gran G y sy android).

calculadora ::

¿ Te gustan las mátematicas ?

Leo en elPais.es, el siguiente articulo, mas que interesante:

A los europeos les interesan los descubrimientos científicos y los avances tecnológicos —así lo dice el 80% de la población según el último Eurobarómetro sobre este tema, del año 2010—, pero esa atracción no se traduce después en nuevas vocaciones: los licenciados en matemáticas, ciencias y tecnología suponen apenas el 21% del total de graduados en la UE. Una cifra que ha decrecido, además, un 3% en nueve años. Para tratar de acercar estas materias a la ciudadanía y escuchar su opinión sobre la agenda científica europea, la organización Atomium Culture lanza hoy un sondeo a través de cinco grandes periódicos, entre ellos EL PAÍS. La iniciativa, auspiciada por la Comisión Europea, preguntará a los ciudadanos sobre asuntos como su interés por las disciplinas científicas, la calidad de la formación educativa europea en esta materia o asuntos relacionados con la ética, el acceso a la información científica o la presencia de la mujer en este terreno. Las votaciones y comentarios de los ciudadanos serán tenidos en consideración para elaborar la nueva agenda científica europea Horizonte 2020. Se trata, según sus promotores, de que la estrategia europea en materia de ciencia no sea fijada por los políticos tras escuchar a los colectivos profesionales (académicos, industria, etc), sino que también el ciudadano de a pie pueda hacer oir su voz.

Según la comisaria europea de Investigación, Innovación y Ciencia, Máire Geoghegan-Quinn, “es fundamental garantizar que la investigación y la innovación se impulsan no solo por una mejor ciencia y por el mercado potencial, sino también para atender las necesidades e inquietudes sociales”. El sondeo se realizará a través de las páginas web de cinco diarios europeos – Frankfurter Allgemeine Zeitung, Sole24Ore, Der Standard, The Irish Times y EL PAÍS – , que lanzarán a partir de hoy una pregunta semanal durante cinco semanas. “Se trata de garantizar que las preocupaciones de la opinión pública en general se tienen en cuenta para elaborar el nuevo programa europeo de investigación”, explica Erika Widegreen, directora ejecutiva de Atomium Culture, una entidad sin ánimo de lucro que sirve de nexo entre las universidades europeas, las empresas y los medios de comunicación para promover el conocimiento y la innovación.

En el origen de esta iniciativa está la inquietud de la Comisión Europea al constatar que la investigación sigue siendo considerada por muchos ciudadanos como algo lejano y ajeno. “La investigación y la innovación son pilares fundamentales de la estrategia europea para el crecimiento económico. Sin embargo, este impulso solo podrá tener éxito si la investigación y la innovación se desarrollan de manera responsable y tienen el apoyo de todas las partes interesadas, en especial de los ciudadanos”, explica la comisaria por correo electrónico.

La comisaria de Investigación, Innovación y Ciencia explica que su departamento ha lanzado ya varios proyectos para involucrar a la sociedad civil en la definición de las agendas de investigación. “Y lo hará aún más”, dice. El programa que se inicia hoy, denominado Iniciativa Especial para el Compromiso Ciudadano, forma parte del proyecto Ciencia en Sociedad, que busca crear un canal de diálogo entre la ciencia y la sociedad y despertar el interés por las disciplinas científicas.

Pronósticos bursatiles

John Allen Paulos, quien, por cierto, intentó ganar dinero jugando a la bolsa utilizando sus conocimientos matemáticos y perdió, explica la siguiente estafa: alguien que se hace pasar por asesor financiero manda 32000 cartas (o correos electrónicos) con un pronóstico bursátil: la mitad al alza y la mitad a la baja. Al día siguiente, una de las dos mitades pensará que el pronóstico fue acertado. A esa mitad les mandamos otro correo, a la mitad de ellos al alza y a la otra mitad a la baja. Tras repetir el proceso seis veces tenemos 500 personas que han recibido seis pronósticos bursátiles seguidos acertados. Si a continuación se les pide un dinerillo para que sigan recibiendo pronósticos, muchos de ellos no se resistirán.

Anecdotyas mátematicas: Laplace

Destacó en numerosos campos, pero especialmente en sus estudios sobre probabilidad, en matemáticas, y en mecánica celeste; en este último terreno, publicó su más destacada obra: Mecánica celeste. En ella, describía completamente el comportamiento mecánico del sistema solar y, según se cuenta, Napoleón le reprochó que en ninguno de los volúmenes de la misma mencionara a Dios. Laplace se limitó a contestarle: “Señor, no he necesitado esa hipótesis”

Anecdotas matematicas

El matemático inglés John Wallis era amigo de Isaac Newton. De acuerdo con su diario, Newton le fanfarroneó en cierta ocasión acerca de su perrito Diamond:

- Mi perro Diamond sabe algo de matemáticas. Hoy probó dos teoremas antes de almorzar.

- Tu perro debe ser un genio- respondió Wallis.

- ¡Oh, me he pasado un poco! El primer teorema tenía un error y el segundo tenía una excepción patológica.

Calculadora

humor matemático

Un poco de humor matemático de parte de los siempre geniales Hermanos Marx (Chico, Harpo y Groucho, y los dos menores Zeppo y Gummo)

Groucho: Si tuvieses 10 manzanas y quisieras repartirlas entre seis personas ¿qué harías tú?

Gummo: Haría compota de manzana.

Groucho: ¿Cuál es la forma de la Tierra?

Harpo: Pues no lo sé.

Groucho: Bien, veamos, ¿cuál es la forma de mis gemelos?

Harpo: Cuadrada.

Groucho: No los gemelos de diario, sino los que yo visto los domingos.

Harpo: Ah, redonda.

Groucho: Muy bien, ¿cuál es la forma de la Tierra?

Harpo: Cuadrada entre semana y redonda los domingos.

El gato de Schrödinger

El experimento del gato de Schrödinger (casi siempre referido como “La paradoja del gato de Schrödinger”) es un experimento imaginario, diseñado por el famoso físico Erwin Schrödinger en el año 1937. El objeto del experimento es exponer uno de los aspectos de la mecánica cuántica que más extraño resulta al publico en general. Esta paradoja ha sido objeto de tanta controversia, discusión científica y filosófica, que se cuenta que el físico llegó a afirmar que “cada vez que escucho hablar de ese gato, empiezo a sacar mi pistola”.

La mecánica cuántica (o mecánica ondulatoria) es una de las principales ramas de la física que intenta explicar el comportamiento de la materia. Su campo de aplicación es, básicamente, el mundo de lo más pequeño, y sus predicciones divergen radicalmente de la llamada física clásica, por lo que suelen desafiar el sentido común. Una de golpes más duros que proporciona la mecánica cuántica a nuestra concepción “clásica” del mundo se debe a la dualidad onda-partícula.

Resumiendo bastante, y pidiendo perdón a los físicos por ello, podemos explicar esta dualidad diciendo que los científicos notaron, hace ya unos cien años, que bajo ciertas condiciones experimentales los electrones y demás partículas mostraban un comportamiento ondulatorio. Esto explicaba los resultados de muchos experimentos, como la interferencia. Pero bajo otras condiciones, las mismas partículas se comportaban como si fuesen corpúsculos, como en la dispersión de partículas. Esta dualidad, demostrada experimentalmente hasta el hartazgo, hizo necesaria una revisión de un buen número de supuestos. Por ejemplo, ya no era posible hablar de cosas tales como “trayectoria”. En efecto, al ser imposible determinar la posición y el momento de una partícula, es imposible sostener un concepto como el de la trayectoria, que es vital para la mecánica clásica. En la mecánica cuántica, el movimiento de una partícula queda determinado por una función matemática que asigna, a cada punto del espacio y del tiempo, una probabilidad determinada de que se halle tal o cual posición. A partir de esa función (la “función de ondas”) pueden extraerse todas las magnitudes del movimiento necesarias.

Afortunadamente, a nivel macroscópico estos efectos son absolutamente irrelevantes. Por ejemplo, si bien una partícula tiene una probabilidad mensurable (y a veces bastante elevada) de atravesar una barrera a pesar de no tener la energía suficiente para ello, es absolutamente improbable (pero no imposible, al menos matemáticamente) de que una persona atraviese una pared sólida. Esto se debe a que la persona (y también la pared) está formada por una colección enorme de partículas, cada una de ellas con una pequeña probabilidad de atravesar el muro. La probabilidad de que la persona termine del otro lado de la pared es básicamente el producto entre todas las probabilidades individuales. Al tratarse de un producto de un número enorme de términos (y todos menores a “1”) la probabilidad de ver efectos cuánticos en objetos macroscópicos es -por decirlo de alguna forma- muy pequeña.

La “paradoja del gato de Schrödinger” hace referencia a la paradoja que surge de un célebre experimento imaginario propuesto en el año 1937 por el físico Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger. Schrödinger fue un físico austríaco (más tarde nacionalizado irlandés) que realizó importantes contribuciones en los campos de la mecánica cuántica y la termodinámica, y que en 1933 recibió el Premio Nobel de Física por haber desarrollado la ecuación que lleva su nombre. Tras mantener una larga correspondencia con Albert Einstein, Schrödinger propuso el experimento mental que nos ocupa para ilustrar las diferencias entre interacción y medida en el campo de la mecánica cuántica.

Este experimento mental consiste en imaginar a un gato que se encuentra dentro de una caja, junto a un curioso (y peligroso) dispositivo. Este dispositivo está formado por una ampolla de vidrio que contiene un veneno muy volátil y un martillo que pende sobre la ampolla de forma que puede romperla si cae sobre ella. Si esto ocurre, escapa el veneno y el gato muere. El mecanismo que controla el martillo no es más que un detector de partículas alfa, acondicionado de tal forma que, si detecta una partícula alfa, el martillo se suelta, rompe la ampolla y mata el gato. Caso contrario, el martillo permanece en su lugar, la ampolla no se rompe y el gato sigue vivo.

Una vez que se ha montado el dispositivo y el gato está cómodamente instalado en su interior, comienza el experimento. Al lado del detector se coloca un átomo radiactivo especial, que tiene una probabilidad del 50% de emitir una partícula alfa en un lapso de -por ejemplo- una hora. Cuando ese tiempo haya transcurrido, o bien el átomo ha emitido una partícula alfa o no la ha emitido. Como resultado de esto, el martillo habrá o no golpeado la ampolla, y el gato estará vivo o muerto. Por supuesto, no tenemos forma de saberlo si no la abrimos la caja para comprobarlo.

Aquí es donde las leyes de la mecánica cuántica hacen de este experimento algo mucho más interesante. En efecto, si intentamos describir lo que ocurre en el interior de la caja mediante estos principios, llegamos a una conclusión muy extraña: el gato es descripto por una función de onda (extremadamente compleja, por cierto) que da como resultado una superposición de dos estados combinados (mitad y mitad) de “gato vivo” y “gato muerto”. Esto significa que mientras la caja permanezca cerrada, el gato estaría a la vez vivo y muerto. De alguna manera, ocurre lo mismo que con el concepto de “trayectoria”, el estado del gato ha dejado de ser algo concreto para transformarse en una probabilidad.

La única forma de saber con certeza si el felino sigue gozando (o no) de buena salud es abrir la caja y mirar dentro. En algunos casos nos encontraremos con un gato vivo y en otros, con uno muerto. Según Schrödinger, lo que ha ocurrido es que, al realizar la medida, el observador interactúa con el sistema y lo altera, “rompiendo” la superposición de estados y el sistema se define en uno de sus dos estados posibles. Si nos aferramos al sentido común, resulta claro que el gato no puede estar vivo y muerto a la vez. Sin embargo, la mecánica cuántica garantiza que mientras nadie espíe el interior de la caja el gato se encuentra en una superposición de los dos estados “vivo/muerto”. Por supuesto, en este tipo de ejercicio mental el “observador” es cualquier dispositivo (humano o máquina) que pueda “mirar” el interior de la caja. Da igual si es un científico, una cámara o un sensor de alguna clase el que efectúa la acción de “mirar”.

Esta superposición de estados es una consecuencia de la naturaleza ondulatoria de la materia y su aplicación a sistemas macroscópicos -como un gato- es lo que nos lleva a paradoja propuesta por Schrödinger. De hecho, la sola idea de la existencia de un “gato medio vivo” es un atentado contra el sentido común. A lo largo de su vida Erwin Schrödinger fue interrogado tantas veces sobre este experimento mental, que casi podemos entender cómo se sentía cuando dijo “cada vez que escucho hablar de ese gato, empiezo a sacar mi pistola”.

Teoria del Palomar

Este interesante principio fue formulado por primera vez de manera formal por Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), y en consecuencia se conoce a veces como el principio de distribución de Dirichlet o el principio de la caja de Dirichlet.

Dirichlet contribuyó mucho en las matemáticas aplicadas y la teoría de números. Además realizó un trabajo fundamental con respecto a la definición de una función. Su trabajo enfatizaba la relación entre dos conjuntos de números y no pedía la existencia de una fórmula o expresión que relacionara los dos conjuntos.

Si m palomas ocupan n nidos y m > n, entonces al menos un nido tiene dos o más palomas en él.

Ejemplo

Una oficina emplea a 13 oficinistas, por lo que al menos dos de ellos deben cumplir años durante el mismo mes.
Los 13 oficinistas son las palomas y los 12 meses del año son los nidos. A cada paloma le corresponde un nido (el mes en que cumple años). Como hay más palomas que nidos, hay al menos un nido (mes) con dos o más palomas (oficinistas que cumplen en ese mes).

Ejercicios

Demuestre que si 8 personas están en una habitación, al menos dos de ellas cumplen años el mismo día de la semana.

Las palomas son las personas y los nidos son los días de la semana. Como hay 8 palomas y 7 nidos, hay algún nido con más de una paloma, es decir, hay algún día de la semana en el cual cumplen años dos (o más) de esas personas.

En una lista de 600.000 palabras, donde cada palabra consta de 4 o menos letras minúsculas, ¿pueden ser las 600.000 palabras distintas?

El número de palabras diferentes de 4 o menos letras es
274 + 273 + 272 + 27 = 551.880 (sumamos todas las palabras posibles de 4 letras, todas las palabras de 3 letras, todas las de dos letras y todas las de 1 letra.)
Las 551.880 palabras son los nidos y las 600.000 palabras de la lista son las palomas, por lo que al menos una palabra se repite.

Si una persona puede tener no más de 200.000 cabellos, ¿es posible que en una ciudad de 300.000 habitantes haya dos personas con la misma cantidad de cabellos en la cabeza?

Si, es seguro que existen dos personas con la misma cantidad de cabellos.
Las palomas son las 300.000 personas y los nidos son las cantidades de cabellos (0,1,2,…,200.000). A cada “paloma” le corresponde uno de esos “nidos”. Como hay más palomas que nidos, hay algún nido (cantidad) con más de una paloma (habitante).

¿Cuántas veces debemos tirar un sólo dado para obtener el mismo resultado
al menos dos veces?
Los “nidos” son los 6 resultados posibles (1,2,3,4,5,6). Las “palomas” son las tiradas, cada una de ellas “cae” en un nido.
La cantidad de palomas necesaria para que en alguno de los 6 nidos haya dos o más, es 7.
Alcanza con que el dado se tire 7 veces.

al menos tres veces?
Queremos que haya un nido con 3 o más palomas. Si hay 12 palomas (o menos) esto no está garantizado, pues podrían ubicarse dos en cada nido. Pero si hay 13 palomas está claro que tiene que haber 3 o más en algún nido.
||| || || || || ||
— — – — – –
1 2 3 4 5 6
Se necesitan 13 tiradas.
al menos n veces, para n >= 4?
Queremos que haya un nido con (al menos) n palomas. Podemos pensar qué cantidad máxima de palomas puede haber, sin la necesidad de que haya un nido con n palomas. Esto ocurre cuando hay n-1 palomas en cada nido, es decir 6(n-1) palomas. En este punto, si se agrega otra paloma, habrá n palomas en un nido.
1
n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1
— — — — — —
1 2 3 4 5 6
Se necesitan 6(n-1) + 1 tiradas.
Cualquier subconjunto de tamaño 6 del conjunto A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} debe contener dos elementos cuya suma es 10. Justificarlo.

Los pares de elementos de A que suman 10 son: {1,9}, {2,8}, {3,7} y {4,6}. Estos son los nidos. Las palomas son los 6 números del subconjunto. Cada número va al “nido” correspondiente, por ejemplo, el 1 va a {1,9}, el 2 va al {2,8}, y así. Como 6 > 4, hay al menos dos números que van al mismo nido, es decir, hay dos números que suman 10. (Si uno de los números es el 5, no lo consideramos, de todas maneras hay 5 palomas y 4 nidos.)

1 2 8 3 7 4
{1,9}, {2,8}, {3,7} y {4,6}

palomar